von Massimo Kimelmann

Diophantus (um 250 n. Chr., Alexandria), beeinflußte wesentlich die abendländische Mathematik.
Durch die Fortbildung Diophantischer Gedankengänge entstand in der Neuzeit (Frühbarock) die Buchstabenalgebra und später die Zahlentheorie.
Die Geometrie diophantischer Gleichungen wurde eingehend von Gabriel Lame` (1795-1870) untersucht, daher die Definition "Lame`-Kurven" (siehe Loria 1902).
Zu den weitverbreitesten diophantischen Kurven unter der Gleichung

zählen mit der Ordnung

In der vorliegenden Ideensammlung wird mit Hilfe einer zusätzlichen Parameterstellung der Versuch unternommen, den Beziehungsreichtum diophantischer Kurven etwas näher zu beleuchten.
Die geometrischen Untersuchungen bewegen sich hauptsächlich im 1. Quadranten eines rechtwinkligen Koordinatensystems.
Ungerade Exponenten sind nur zur Geraden y = - x symmetrisch, daher werden in den Beispielen nur gerade Exponenten verwendet.

A) Parameterdarstellung

1. Kreis
2. Ellipse
3. Astroide
4. Gerade

B) Direkte und indirekte Parameter

1. Parameterentwicklung aus der Astroidengleichung 
2. Allgemeine Darstellung direkter Parameter
3. Beziehung zwischen indirekter und direkter Parameter - Darstellung am Beispiel der Astroide 
4. Allgemeine Formulierung indirekter und direkter Parameter bei diophantischen Gleichungen 
5. Zusammenfassung

C) Ellipsen n-ten Grades

1. Affine Erzeugung aus diophantischen Kurven 
2. Mittelpunktsgleichung bei Ellipsen n-ten Grades 
3. Entwurf von Ellipsenelementen e und p

D) Diophantische Beziehungen

1. Hüllkurve
2. Tangentenmethode
3. Allgemeine Gleichung

E) Anwendungsbeispiele

1. Hypergeometrische Beziehung im ebenen rechtwinkligen Dreieck 
2. Modifizierte Papierstreifenkonstruktion 
3. Umrechnung für sin und cos im n-ten Bereich
4. Basiswechsel bei gleichbleibendem Polarwinkel "a"

F) Schlußbemerkung

G) Literaturhinweise

Abb.1: Parameter a und j beim Kreis

1) In kartesischen Koordinaten lautet die Kreisgleichung entsprechend dem pythagoräischen Lehrsatz

Die Umrechnung der Polarkoordinaten (a, j) 
in kartesische Koordinaten (x, y) erfolgt in dieser Form:

2. Ellipse

als affine Erzeugung aus dem Kreis nach Archimedes. Verkürzt man die Ordinaten y dieses Kreises 1) im Verhältnis b : a, so erhält man eine neue diophantische Kurve 2. Ordnung mit der expliziten Gleichung

Abb. 4) Astroide mit Hilfsparameter d und dem direkten Parameter j

1) Parameterentwicklung aus der Astroidengleichung

Neben der klassischen indirekten Parameterdarstellung der Astroide 8) läßt sich eine direkte Darstellung ableiten: x und y genügen 2 diophantischen Gleichungen

Der Hilfsparameter d in Abb. 4) ist nun im Gegensatz zum Kreisparameter a 
in Abb. 1) veränderlich und zwar in Abhängigkeit vom Winkel j. Analog zu 2) erhält die Gleichung 11) die Polarform

13) in 12) eingesetzt ergibt

umgeformt ergibt sich die Beziehung zwischen dem direkten, veränderlichen Hilfsparameter d und dem konstanten Parameter a.

Führt man die unter 15) gefundene Beziehung in 13) ein, erhält man die gesuchte direkte Parameterdarstellung

als Polargleichung der Astroide.

2) Allgemeine Darstellung direkter Parameter

Die Darstellung in 15) und 16) gilt nicht nur für . Folgende Betrachtung betrifft den Exponenten n allgemein.

Die diophantische Gleichung

auf beiden Seiten durch dividiert, erscheint in der Form

Ersetzt man x und y durch die Polarkoordinaten aus 13) , so erhält man

Der Maßstab d in 19) ist invariant, so daß

mit einem beliebigen Maßstab multipliziert werden kann, z.B. mit .

Aus dem Vergleich mit 17) folgert sich die allgemeine Parameterdarstellung

Setzt man in 22) ein, so folgt unmittelbar die direkte Parameterdarstellung der Astroide 16).

3) Beziehung zwischen indirekter und direkter Parameterdarstellung im Beispiel der Astroide

Das Gleichungspaar 9) läßt sich nun erweitern zu

Aus 24) läßt sich wechselseitig der direkte und der indirekte Parameter ableiten.

4) Allgemeine Formulierung indirekter und direkter Parameter bei diophantischen Gleichungen

Potenziert man x und y mit dem Exponenten n , so erfüllen beide Parameter e und j die diophantische Gleichung 17)

5) Zusammenfassung

Durch die Einführung der direkten Parameterstellung bei diophantischen Polargleichungen läßt sich folgendes feststellen:

a) Der Nenner in 25) bewirkt in Abhängigkeit von j eine Streckung bei n > 2 oder eine Stauchung bei n < 2 des Hilfsparameters d (Abb. 4).

b) Der Hilfsparameter d läßt sich als ein unter Einfluß des Exponenten n und Polarwinkel j modulierter Basisparameter a betrachten.

c) Beim Kreis als diophantische Kurve mit n = 2 bleibt auf Grund der Beziehung d = a . Nach der direkten Parameterstellung würde die Polargleichung beim Kreis trivialerweise so lauten:

d) Vollständigkeitshalber läßt sich die Gerade als diophantische Gleichung mit n = 1 auch schreiben:

woraus folgt:

Abb.5: Affine Erzeugung einer Ellipse n-ten Grades

Durch die Kombination der Polarkoordinaten für

P₀:

und P₁:

ergibt sich für die Ellipse n-ten Grades

die Parameterdarstellung

2) Mittelpunktsgleichung der Ellipsen n-ten Grades

Mit den Parametern d und j in Abb.5) ergibt sich die Darstellung

eingesetzt in 32) folgt die Polargleichung

3) Beispiel eines möglichen Entwurfes von Ellipsenelementen e und p

Abb. 6) Ellipsenelemente e und p

Durch den Schnitt der diophantischen Kurve mit der Geraden y = b erhält man 

und weiter

Setzt man e aus 37) in die Ellipsengleichung n-ten Grades 32) ein, folgt für den Halbparameter p (als halbe Sehne durch den Brennpunkt F1 bzw. F2 ) die interessante Beziehung 

Anders formuliert, der Halbparameter p ist gegenüber dem Exponenten n der Kurvengleichung 32) invariant.

Im Beispiel der Astroide in Abb. 3) gleitet der Kreisradius mit konstanter Länge a an den beiden Koordinatenachsen. Als Ergebnis entsteht eine Hüllkurve mit unendlich vielen Tangenten mit gleichbleibender Länge a . Diese Hüllkurvenerzeugung kann man als "Diagonalenmethode" bezeichnen.

Abb. 7) Diagonalenmethode

Jedes mit dem Radius a aufgespannte Koordinatenviereck wird mit der fehlenden Diagonale ergänzt. Betrachtet man als Ausgangskurve statt des Kreises die diophantische Kurve 3. Grades im 1. Quadranten 

ergibt sich in jedem Punkt der Kurve ein "veränderlicher Radius" d analog zur Gleichung 15) mit der Beziehung zu a

Bildet man entsprechend der Abb. 7) die zugehörigen Diagonalen, erzeugt man ebenfalls eine Hüllkurve mit der diophantischen Gleichung

2) Tangentenmethode

Ausgehend vom Kreis in Abb. 7) konstruiert man in jedem Punkt des Kreises die zugehörige Tangente. 

Abb. 8) Tangentenmethode

Die durch die Tangentenabschnitte erzeugten Schnittpunkte Q1 und Q2 liegen auf einer diophantischen Kurve mit der Gleichung

In Abb. 8) ist der Kreis wiederum Hüllkurve der gleitenden "Diagonalen" zur zugehörigen Kurve 42) mit dem Exponenten "-2" .

3) Allgemeine Gleichung

Die Beziehungsmöglichkeiten diophantischer Gleichungen wurden von Gabriel Lamé (1795-1870) untersucht und bewiesen. Im Beispiel der Astroide ist der Kreis die Ausgangskurve als diophantische Gleichung mit dem Exponenten n = 2, der wandernde Radius als Konstruktionskurve mit dem Exponenten k = 1 in Diagonalenposition und als Ergebnis die Astroide mit dem Exponenten .

Die allgemeine Gleichung lautet

Die Gleichung läßt sich wiederum in eine diophantische Form umschreiben

oder

Die Konstruktionskurve mit dem Exponenten k muß nicht unbedingt eine Gerade sein, es können auch diophantische Kurven mit beliebigen Exponenten verwendet werden. Würde man in Abb. 7) in den Rechtecken 0 S₁ P₁ R₁ und 0 S₂ P₂ R₂ je eine Ellipse mit k = 3 konstruieren statt der Geraden k = 1, erhält man nach der Formel 43) als diophantische Gleichung

eine Einhüllende mit dem Exponenten .

Im Vergleich zur Formel 44) gestaltet sich die Abbildungsgleichung für Hohlspiegel in der geometrischen Optik zu

· a = Gegenstandsweite; · a' = Bildweite; · f = Bildbrennweite

1) Hypergeometrische Beziehungen im ebenen rechtwinkligen Dreieck

Abb. 9) Rechtwinkliges Dreieck im "Thalessystem"

In Abb. 9) ist das klassische rechtwinklige Dreieck mit den Seitenverhältnissen 3 : 4 : 5 im Thaleshalbkreis abgebildet und gleichzeitig in 2 kartesische Koordinatensysteme mit je einer diophantischen Kurve eingespannt. Im 1. System BAD verläuft die Kurve von Punkt "D" über "C" nach "B" mit der Gleichung

Im 2. System ABE über Punkt "C" mit

( q absolut genommen)

Die Katheten a und b sind im Thalessystem definiert mit

aus a² + b² = c² folgt

Im 1. kartesischen Koordinatensystem BAD mit dem Kurvenpunkt "C" (p, h) läßt sich die Kathete b auch schreiben in Abhängigkeit von den Parametern c und a :

die zugehörigen polaren Koordinaten des Punktes "C"

Analog folgt im 2. kartesischen Koordinatensystem ABE für den Kurvenpunkt "C" jetzt mit den neuen Koordinaten q und h

entsprechend die zugehörigen Polarkoordinaten

Verwendet man in 54) und 55) die Identität von 50) , so folgt für

Für die projizierten Dreieckseiten p und q läßt sich ein direkter Zusammenhang zu den Exponenten n und m herstellen.

Das Formelpaar 58) läßt sich noch vereinfachen zu

Zu jedem Winkel a im rechtwinkligen Dreieck läßt sich zu jeder Sinus- und Co-Sinusfunktion entsprechend ein Exponent n und Co-Exponent m konstruieren. Das selbe Ergebnis erreicht man durch Koppelung der Gleichungen 50) mit 52) und 53) :

2) Modifizierte Papierstreifenkonstruktion

Ähnlich wie bei der Astroidenkonstruktion wandert eine Strecke mit der Länge "a + b = c" entlang den Koordinatenachsen x und y . 

Abb. 10) Papierstreifenkonstruktion einer Ellipse 2. Grades 
ausgehend vom Kreis x² +y² =c²

Im gegebenen Kreis mit Radius c wandert ähnlich wie beim Diagonalverfahren zur Erzeugung einer Hüllkurve eine Strecke geteilt im Verhältnis a : b. Diesmal interessiert die durch den konstant mitwandernden Teilungspunkt P₁ erzeugte Kurve. Die Koordinaten des Teilungspunktes P₁ lassen sich aus der Abb. 10) zu

entwickeln. Mit dem Koordinatenpaar in 61) läßt sich die entstehende Kurve ableiten.

Es handelt sich um eine Ellipse 2. Grades. Wäre das Teilungsverhältnis =1 : 1 , so gäbe dies einen Kreis mit

Abb. 11) Modifizierte Papierstreifenkonstruktion einer Ellipse 4. Grades 
ausgehend von einer diophantischen Kurve x⁴ + y⁴ = c⁴

In Abb. 11) liegt eine diophantische Kurve mit dem Exponenten n vor. 

Die Polarkoordinaten des Punktes P0 lauten

Bei a = 0 wird x₀ = c = a + b und y₀ = 0

Der Hilfsparameter d zeigt die momentane Lage von P₀ an und ergibt in Abhängigkeit von der Basis c und dem laufenden Winkel a die Gleichung ähnlich wie 15)

Formt man die Gleichung 65) um zu

so entspricht der 1. Summand in 66) der Strecke P₁B

und der 2. Summand in 66) der Strecke AP₁

Für den laufenden Punkt P₁ lassen sich die Koordinaten in folgender Form darstellen

Aus 67) folgt unschwer die Gleichung einer Ellipse n-ten Grades

Ungewohnt an dieser Betrachtungsweise ist, daß sich die gleitende Strecke in Abhängigkeit von a in der Länge ändert. Das Teilungsverhältnis "a : b" der sich ändernden Strecke bleibt, wie man in 66) sieht, erhalten.

3) Umrechnung für "sin" und "cos" im n-ten Bereich

Um die gedankliche Verbindung zwischen dem Exponenten 2 und dem Exponenten n leichter nachzuvollziehen werden die trigonometrischen Funktionen sin a und cos a zu

und erweitert.

Man erhält nach wie vor für

Führt man im Nenner statt der Dimension "2" einen beliebigen Exponenten "n" ein, erhält man analoge Umrechnungsformeln wie in 69) :

4) Basiswechsel bei gleichbleibendem Polarwinkel a

Abb. 12) Diophantische Kurve n-ten Grades mit den Basen "c" und "d"

weiter gilt:

Führt man anstelle "c" die Basis "d" ein, erhält man eine diophantische Gleichung mit neuem Exponenten:

in Polarkoordinaten dargestellt:

Zugleich folgt aus

Durch Einsetzen der Gleichung 72) in die Gleichung 75) erhält man eine basisunabhängige Beziehung der Exponenten "n" und "k" nur in Abhängigkeit vom Polarwinkel a :

Vorliegende Ideensammlung stellt eine Auswahl geometrischer Gehversuche aus der Zeit meines Geodäsiestudiums Januar 1973 bis zum jetzigen Zeitpunkt meiner aktiven Laufbahn als Landvermesser dar.

Von dieser Warte aus interessierte in erster Linie eine mögliche ingenieurtechnische Handhabung diophantischer Gleichungen.

Als erstes bieten sich Erweiterungsmöglichkeiten bei Schwingungs- und Wellengleichungen an. Aus Platzgründen wurde auf ein Beispiel bei Lissajou´schen Kurven verzichtet. Den systematischen Aufbau einer praktikablen "Diophantischen Geometrie" mit entsprechender mathematischer Beweisführung ist sicherlich vornehme Aufgabe der mathematischen Zunft.

Sollte ein Leser dieser "Entwicklungen" zu eigenen Untersuchungen angeregt werden, wäre die Aufgabe dieses Schriftstücks mehr als erfüllt.

Massimo Kimelmann, Eichstätt im Januar 1999 

Gray, A., Differentialgeometrie Spektrumverlag 1994

Lind D., Koordinaten, Vektoren, Matrizen Spektrumverlag 1996

Loria, G., Spezielle algebraische und transzendente Kurven Teubner-Verlag Leipzig 1910

Schupp, H./ Dabrock, H., Höhere Kurven B.I. Verlag 1995

Stöcker, H., Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren Verlag Harri Deutsch 1995

Strubecker, K., Einführung in die höhere Mathematik Band I-IV Oldenbourg Verlag 1967-1984

Teubner Taschenbuch der Mathematik B.G. Teubner Verlagsges. Leipzig 1996

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Copyright © 1999 Massimo Kimelmann
Issued: April 1999
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